Matemática básica Ejemplos

$r \cdot (R - H) = R \sqrt{H^{2} + r^{2}}$

Paso 1

Resuelve $R \sqrt{H^{2} + r^{2}}$

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación como $R \sqrt{H^{2} + r^{2}} = r \cdot (R - H)$ .

$R \sqrt{H^{2} + r^{2}} = r \cdot (R - H)$

Paso 1.2

Simplifica $r \cdot (R - H)$ .

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$R \sqrt{H^{2} + r^{2}} = r R + r (- H)$

Paso 1.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$R \sqrt{H^{2} + r^{2}} = r R - r H$

Paso 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(R \sqrt{H^{2} + r^{2}})}^{2} = {(r R - r H)}^{2}$

Paso 3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{H^{2} + r^{2}}$ como ${(H^{2} + r^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(R {(H^{2} + r^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(r R - r H)}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${(R {(H^{2} + r^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $R {(H^{2} + r^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$R^{2} {({(H^{2} + r^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(r R - r H)}^{2}$

Paso 3.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${({(H^{2} + r^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$R^{2} {(H^{2} + r^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(r R - r H)}^{2}$

Paso 3.2.1.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$R^{2} {(H^{2} + r^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(r R - r H)}^{2}$

Paso 3.2.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$R^{2} {(H^{2} + r^{2})}^{1} = {(r R - r H)}^{2}$

Paso 3.2.1.3

Simplifica.

$R^{2} (H^{2} + r^{2}) = {(r R - r H)}^{2}$

Paso 3.2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = {(r R - r H)}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica ${(r R - r H)}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe ${(r R - r H)}^{2}$ como $(r R - r H) (r R - r H)$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = (r R - r H) (r R - r H)$

Paso 3.3.1.2

Expande $(r R - r H) (r R - r H)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r R (r R - r H) - r H (r R - r H)$

Paso 3.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r R (r R) + r R (- r H) - r H (r R - r H)$

Paso 3.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r R (r R) + r R (- r H) - r H (r R) - r H (- r H)$

Paso 3.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.3.1.1

Multiplica $r$ por $r$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.3.1.1.1

Mueve $r$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r \cdot r R \cdot R + r R (- r H) - r H (r R) - r H (- r H)$

Paso 3.3.1.3.1.1.2

Multiplica $r$ por $r$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R \cdot R + r R (- r H) - r H (r R) - r H (- r H)$

Paso 3.3.1.3.1.2

Multiplica $R$ por $R$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.3.1.2.1

Mueve $R$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} (R \cdot R) + r R (- r H) - r H (r R) - r H (- r H)$

Paso 3.3.1.3.1.2.2

Multiplica $R$ por $R$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} + r R (- r H) - r H (r R) - r H (- r H)$

Paso 3.3.1.3.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r R (r H) - r H (r R) - r H (- r H)$

Paso 3.3.1.3.1.4

Multiplica $r$ por $r$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.3.1.4.1

Mueve $r$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - (r \cdot r) R H - r H (r R) - r H (- r H)$

Paso 3.3.1.3.1.4.2

Multiplica $r$ por $r$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - r H (r R) - r H (- r H)$

Paso 3.3.1.3.1.5

Multiplica $r$ por $r$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.3.1.5.1

Mueve $r$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - (r \cdot r) H R - r H (- r H)$

Paso 3.3.1.3.1.5.2

Multiplica $r$ por $r$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - r^{2} H R - r H (- r H)$

Paso 3.3.1.3.1.6

Multiplica $r$ por $r$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.3.1.6.1

Mueve $r$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - r^{2} H R - (r \cdot r) H (- H)$

Paso 3.3.1.3.1.6.2

Multiplica $r$ por $r$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - r^{2} H R - r^{2} H (- H)$

Paso 3.3.1.3.1.7

Multiplica $H$ por $H$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.3.1.7.1

Mueve $H$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - r^{2} H R - r^{2} (H \cdot H) \cdot - 1$

Paso 3.3.1.3.1.7.2

Multiplica $H$ por $H$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - r^{2} H R - r^{2} H^{2} \cdot - 1$

Paso 3.3.1.3.1.8

Multiplica $- r^{2} H^{2} \cdot - 1$ .

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Paso 3.3.1.3.1.8.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - r^{2} H R + 1 r^{2} H^{2}$

Paso 3.3.1.3.1.8.2

Multiplica $r^{2}$ por $1$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - r^{2} H R + r^{2} H^{2}$

Paso 3.3.1.3.2

Resta $r^{2} H R$ de $- r^{2} R H$ .

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Paso 3.3.1.3.2.1

Mueve $R$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} H R - r^{2} H R + r^{2} H^{2}$

Paso 3.3.1.3.2.2

Resta $r^{2} H R$ de $- r^{2} H R$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - 2 r^{2} H R + r^{2} H^{2}$

Paso 4

Resuelve $H$

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Paso 4.1

Como $H$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$r^{2} R^{2} - 2 r^{2} H R + r^{2} H^{2} = R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2}$

Paso 4.2

Resta $R^{2} H^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$r^{2} R^{2} - 2 r^{2} H R + r^{2} H^{2} - R^{2} H^{2} = R^{2} r^{2}$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $H$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Resta $r^{2} R^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 r^{2} H R + r^{2} H^{2} - R^{2} H^{2} = R^{2} r^{2} - r^{2} R^{2}$

Paso 4.3.2

Combina los términos opuestos en $R^{2} r^{2} - r^{2} R^{2}$ .

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Paso 4.3.2.1

Reordena los factores en los términos $R^{2} r^{2}$ y $- r^{2} R^{2}$ .

$- 2 r^{2} H R + r^{2} H^{2} - R^{2} H^{2} = R^{2} r^{2} - R^{2} r^{2}$

Paso 4.3.2.2

Resta $R^{2} r^{2}$ de $R^{2} r^{2}$ .

$- 2 r^{2} H R + r^{2} H^{2} - R^{2} H^{2} = 0$

Paso 4.4

Factoriza $H$ de $- 2 r^{2} H R + r^{2} H^{2} - R^{2} H^{2}$ .

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Paso 4.4.1

Factoriza $H$ de $- 2 r^{2} H R$ .

$H (- 2 r^{2} R) + r^{2} H^{2} - R^{2} H^{2} = 0$

Paso 4.4.2

Factoriza $H$ de $r^{2} H^{2}$ .

$H (- 2 r^{2} R) + H (r^{2} H) - R^{2} H^{2} = 0$

Paso 4.4.3

Factoriza $H$ de $- R^{2} H^{2}$ .

$H (- 2 r^{2} R) + H (r^{2} H) + H (- R^{2} H) = 0$

Paso 4.4.4

Factoriza $H$ de $H (- 2 r^{2} R) + H (r^{2} H)$ .

$H (- 2 r^{2} R + r^{2} H) + H (- R^{2} H) = 0$

Paso 4.4.5

Factoriza $H$ de $H (- 2 r^{2} R + r^{2} H) + H (- R^{2} H)$ .

$H (- 2 r^{2} R + r^{2} H - R^{2} H) = 0$

Paso 4.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$H = 0$

$- 2 r^{2} R + r^{2} H - R^{2} H = 0$

Paso 4.6

Establece $H$ igual a $0$ .

$H = 0$

Paso 4.7

Establece $- 2 r^{2} R + r^{2} H - R^{2} H$ igual a $0$ y resuelve $H$ .

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Paso 4.7.1

Establece $- 2 r^{2} R + r^{2} H - R^{2} H$ igual a $0$ .

$- 2 r^{2} R + r^{2} H - R^{2} H = 0$

Paso 4.7.2

Resuelve $- 2 r^{2} R + r^{2} H - R^{2} H = 0$ en $H$ .

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Paso 4.7.2.1

Suma $2 r^{2} R$ a ambos lados de la ecuación.

$r^{2} H - R^{2} H = 2 r^{2} R$

Paso 4.7.2.2

Factoriza $H$ de $r^{2} H - R^{2} H$ .

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Paso 4.7.2.2.1

Factoriza $H$ de $r^{2} H$ .

$H r^{2} - R^{2} H = 2 r^{2} R$

Paso 4.7.2.2.2

Factoriza $H$ de $- R^{2} H$ .

$H r^{2} + H (- R^{2}) = 2 r^{2} R$

Paso 4.7.2.2.3

Factoriza $H$ de $H r^{2} + H (- R^{2})$ .

$H (r^{2} - R^{2}) = 2 r^{2} R$

Paso 4.7.2.3

Factoriza.

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Paso 4.7.2.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = r$ y $b = R$ .

$H ((r + R) (r - R)) = 2 r^{2} R$

Paso 4.7.2.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$H (r + R) (r - R) = 2 r^{2} R$

Paso 4.7.2.4

Divide cada término en $H (r + R) (r - R) = 2 r^{2} R$ por $(r + R) (r - R)$ y simplifica.

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Paso 4.7.2.4.1

Divide cada término en $H (r + R) (r - R) = 2 r^{2} R$ por $(r + R) (r - R)$ .

$\frac{H (r + R) (r - R)}{(r + R) (r - R)} = \frac{2 r^{2} R}{(r + R) (r - R)}$

Paso 4.7.2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.7.2.4.2.1

Cancela el factor común de $r + R$ .

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Paso 4.7.2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{H (r + R) (r - R)}{(r + R) (r - R)} = \frac{2 r^{2} R}{(r + R) (r - R)}$

Paso 4.7.2.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{H (r - R)}{r - R} = \frac{2 r^{2} R}{(r + R) (r - R)}$

Paso 4.7.2.4.2.2

Cancela el factor común de $r - R$ .

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Paso 4.7.2.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{H (r - R)}{r - R} = \frac{2 r^{2} R}{(r + R) (r - R)}$

Paso 4.7.2.4.2.2.2

Divide $H$ por $1$ .

$H = \frac{2 r^{2} R}{(r + R) (r - R)}$

Paso 4.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $H (- 2 r^{2} R + r^{2} H - R^{2} H) = 0$ verdadera.

$H = 0$

$H = \frac{2 r^{2} R}{(r + R) (r - R)}$

$H = 0$

$H = \frac{2 r^{2} R}{(r + R) (r - R)}$